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    <title>复数与复变函数</title>
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</head>
<body>

<p>	<b>复变函数</b>就是自变量为复数的函数.
	在经典的复变函数理论中, 复可微函数即<b>全纯函数</b>占据核心地位.
</p>

<h2>复数</h2>

<p class="example">
	已知 `|z + 1/z| = 1`, 求 `min|z|`.
</p>

<p class="solution">
	设 `z = r(cos theta + "i"sin theta)`, 于是
	<span class="formula">
		`z + 1/z = r(cos theta+"i"sin theta) + r^-1(cos theta-"i"sin theta)`.
	</span>
	由已知,
	<span class="formula">
		`1^2 = |z + 1/z|^2 = (r+r^-1)^2 cos^2 theta + (r-r^-1)^2 sin^2
		theta`,
	</span>
	即
	<span class="formula">
		`r^2 + 1/r^2 = 1 - 2 cos 2 theta`.
	</span>
	由函数 `f(x) = x + 1/x` 在 `(0,1)` 和 `(1, +oo)` 上的单调性知,
	`cos 2 theta = -1` 时, `r` 取得最小值 `sqrt((3-sqrt 5)/2) = (sqrt
	5-1)/2`.
</p>

<p class="solution">
	由 `|z + 1/z| = 1` 得 `|z| = |z^2 + 1| ge 1 - |z|^2`.
	记 `|z| = r`, 有
	<span class="formula">
		`r^2 + r - 1 ge 0`.
	</span>
	解得 `r ge (sqrt 5-1)/2`.
	其中等号成立当且仅当 `z^2 lt 0`, 即 `z` 是纯虚数.
	容易验证 `z = (sqrt 5-1)/2 "i"` 即符合题意, 因此 `min|z| = (sqrt
	5-1)/2`.
</p>

<p class="example">
  设复数 `a, b` 的模长小于 `1`, 证明 `|(a - b)/(1-bar a b)| lt 1`.
</p>

<p class="proof">
  [来自 诗许]
  利用等式 `|a|^2 = bar a a`, 即证
  <span class="formula">
    `(a - b)(bar a - bar b) lt (1-bar a b)(1 - a bar b)`
  </span>
  即证
  <span class="formula">
    `|a|^2 + |b|^2 lt 1 + |a| |b|^2`
  </span>
  即证
  <span class="formula">
    `(1-|a|^2)(1-|b|^2) gt 0`,
  </span>
  显然成立.
</p>

<p class="remark">
  上例表明,
  取定 `|a| lt 1` 时, 函数
  <span class="formula">
    `w = varphi_a(z) = (a - z)/(1 - bar a z)`
  </span>
  将单位圆盘 `B(0, 1)` 映到自身的子集中.
  上式解得 `z = (a-w)/(1 - bar a w)`, 这说明 `varphi_a` 是自身的反函数.
  既然可以反解出 `z`, 这说明 `varphi_a` 是单射;
  另一方面, 对任意 `w in B(0, 1)`, 可以找到原像 `z in B(0, 1)`,
  说明它是满射. 总之 `varphi_a` 是 `B(0, 1)` 到自身的双射.
  特别地, `varphi_a(0) = a`, `varphi_a(a) = 0`.
  又, `varphi_a` 将单位圆周映到单位圆周.<br>
  下文将提到, `D` 上全纯的双射称为 `D` 上的全纯自同构, 它们的集合记为
  `"Aut"(D)`.
</p>

<h2>复平面上的点集拓扑</h2>

<p>域的概念不同于代数学的域.</p>

<p>可求长曲线.</p>

<h2>初等函数</h2>

<h3>指数函数</h3>

<p class="definition">
	设 `z = x + "i"y`, 定义
	<span class="formula">
		`"exp"(z) = "e"^z = "e"^x(cos y + "i"sin y)`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	当 `y = 0` 时, `"e"^z = "e"^x`, 此定义与实变量的指数函数一致;
	当 `x = 0` 时, 得到<b>Euler 公式</b>:
	<span class="formula">
		`"e"^("i"y) = cos y + "i" sin y`.
	</span>
	应用 Euler 公式, 复数的三角表示 `r(cos theta + "i"sin theta)`
	可以简单地写为 `r "e"^("i"theta)`.
	此外, 由
	<span class="formula">
		`"e"^("i"y) = cos y + "i" sin y`,<br/>
		`"e"^(-"i"y) = cos y - "i" sin y`
	</span>
	可得
	<span class="formula">
		`cos y = ("e"^("i"y)+"e"^(-"i"y))/2`,
		`quad sin y = ("e"^("i"y)-"e"^(-"i"y))/(2"i")`.
	</span>
</p>

<ol class="corollary">
	<li>`|"e"^z| = "e"^x gt 0`, 因此 `"e"^z != 0`;</li>
	<li>`"e"^z "e"^w = "e"^(z+w)`;</li>
	<li>`"e"^(z+2pi"i") = "e"^z`, 因此 `"e"^z` 是周期为 `2pi"i"`
		的周期函数;
	</li>
</ol>

<h3>三角函数</h3>

<p class="definition">
	设 `z in CC`, 从 Euler 公式得到启发, 定义
	<span class="formula">
		`cos z = ("e"^("i"z)+"e"^(-"i"z))/2`,
		`quad sin z = ("e"^("i"z)-"e"^(-"i"z))/(2"i")`.
	</span>
</p>

<ol class="corollary">
	<li>`"e"^("i"z)` 和 `"e"^(-"i"z)` 都以 `2pi` 为周期, 所以
		`sin z`, `cos z` 也以 `2pi` 为周期.
	</li>
	<li>`sin z` 是奇函数, `cos z` 是偶函数.</li>
	<li>常见的三角恒等式在复数范围内仍成立:
		<span class="formula">
			`sin(z+w) = sin z cos w + cos z sin w`,<br/>
			`cos(z+w) = cos z cos w - sin z sin w`,<br/>
			`sin^2 z + cos^2 z = 1`, `quad sin 2z = 2 sin z cos z`,
			`quad cos z = sin(pi/2 - z)`,
		</span>
		等等.
	</li>
	<li>`sin z` 的零点是 `z = k pi`, `k in ZZ`;
		`cos z` 的零点是 `z = (k+1/2)pi`, `k in ZZ`.
		这些零点都是实数.
	</li>
	<li>
		定义
		<span class="formula">
			`cosh z = ("e"^z+"e"^-z)/2`,
			`quad sinh z = ("e"^z-"e"^-z)/2`.
		</span>
		容易看出
		<span class="formula">
			`cosh("i"z) = cos z`, `quad sinh("i"z) = sin z`,<br/>
			`cos("i"z) = cosh z`, `quad sin("i"z) = -sinh z`.
		</span>
		注意 `sinh`, `cosh` 是无界函数,
		因此与实变量的正, 余弦函数不同, `sin z`, `cos z` 是无界函数.
	</li>
</ol>

<h3>对数函数</h3>

<p class="definition">
	设 `z in CC`, 称满足方程 `"e"^w = z` 的 `w in CC` 为 `z`
	的<b>对数</b>, 记为 `"Log"z `.
</p>

<p class="corollary">
	`"Log" z  = log|z| + "i" "Arg"z`.它是一个多值函数,
	其多值性由辐角 `"Arg"z` 的多值性产生.
</p>

<p class="proof">
	设 `z = r"e"^("i"theta)`, `w = u + "i"v`, 若
	`"e"^w = z`, 我们有
	<span class="formula">
		`"e"^(u+"i"v) = r"e"^("i"theta)`,
	</span>
	即
	<span class="formula">
		`"e"^u = r`, `quad v = theta + 2 k pi`, `quad k in ZZ`.
	</span>
	于是
	<span class="formula">
		`"Log"z = log|z| + "i" "Arg" z`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	<b>对数函数的单值全纯分支</b>
	如果 `D` 是不含原点和无穷远点的单连通域, 则存在 `D`
	上的一列单值全纯函数 `{varphi_k}`, 满足
	<span class="formula">
		`exp(varphi_k(z)) = z`,
		`quad (varphi_k(z))' = 1/z`,
		`quad k = 0, +-1, +-2, cdots`.
	</span>
	每个 `varphi_k` 都称为 `"Log"z` 在 `D` 上的一个单值全纯分支.
</p>

<h3>幂函数</h3>

<p class="definition">
	设 `z in CC`, `mu = a + "i"b`, 定义 `z^mu = "e"^(mu"Log"z)`.
</p>

<h2>分式线性变换*</h2>

<p class="definition">
  全体复数 `CC` 连同无穷远点 `oo` 一起组成<b>复球面</b> `CC^**`.
</p>

<ol class="definition">
  复变函数 `f(z) = (a z+b)/(c z+d)` 称为一个<b>分式线性变换 (或 Möbius
    变换)</b>, `bm A = [a, b; c, d]` 称为它的矩阵.
  对于任意非零常数 `k`, `k bm A` 也是 `f` 的矩阵. 我们将 `bm A` 和 `k bm A`
  视为相等的.
  下面我们总假定
  <li>`|bm A| = a d - b c != 0`.</li>
  <li>若分母 `c z + d = 0`, 规定 `f(z) = oo`.</li>
  <li>若 `z = oo`, 规定 `f(z) = a/c`; 特别当 `c = 0` 时, `f(oo) = oo`.</li>
  若 `c = 0`, 由假设 `a d - b c != 0` 知 `a != 0`, `d != 0`. 此时 `f` 形如
  `A z + B`, 是一次多项式.
</ol>

<ol class="remark">
  <li>复数域上全体二阶可逆矩阵称为 (2 阶) <b>一般线性群</b> `M = GL_2(CC)`.
  全体数量矩阵 `k bm I in M` 记为 `Z(M)`, 称为 `M` 的<b>中心</b>;
  这是因为 `M` 中与任意矩阵乘法可交换的必为数量矩阵.
  考虑分式线性变换时, 我们将 `bm A` 和 `k bm A` 等同, 因此分式线性变换是商群
  `PGL_2(CC) = M // Z(M)` 中的元素, 这个群称为<b>射影一般线性群</b>.
  </li>
  <li>`GL_2(CC)` 中行列式等于 `+-1` 的矩阵全体组成子群 `SL_2(CC)`,
    称为<b>特殊线性群</b>. `SL_2(CC)` 商掉其中心得到<b>射影特殊线性群</b>
    `PSL_2(CC)`. 特别素域 `bbb F_p` 上的 `n` 阶射影特殊线性群 `PSL_n(bbb
    F_p)` 简记为 `PSL(n, p)`.
  </li>
</ol>

<p class="property">
  <b>分式线性变换与矩阵</b>
  设 `bm A, bm B` 分别为 `f, g` 的矩阵, 容易验证 `f @ g` 的矩阵即为 `bm(A
  B)`.  又, `f^-1` 的矩阵即为 `bm A^-1 = [-d, b; c, -a]` (等价意义上), 即
  <span class="formula">
    `y = (a x + b)/(c x + d)`
    `rArr x = (-d y + b)/(c y - a)`.
  </span>
</p>

<ol class="property">
  <b>分式线性变换的不动点</b>
  <li>`c = 0` 时, `f` 形如 `A z + B`, `A != 0`. 显然 `oo` 是 `f`
    的一个不动点. 若 `A != 1`, 则 `B/(1-A)` 是它的另一个不动点;
    若 `A = 1`, 则 `oo` 是 `f` 唯一的不动点.
  </li>
  <li>`c != 0` 时, 令 `z = (a z + b)/(c z + d)` 得
    <span class="formula">
      `c z^2 + (d-a) z - b = 0`.
    </span>
    解之可得一或两个不动点.
  </li>
</ol>

<p class="example">
  `f(z) = 1/(1-z)` 满足 `f^3(z) = z`, 从矩阵的角度看,
  <span class="formula">
    `[0, 1; -1, 1]^3 = [-1, ; , -1]`.
  </span>
</p>

<p class="example">
  [来自 我是萌萌的澄]
  设 `f: x mapsto (1+x)/x`, `g: x mapsto (1-x)/x`, 若 `x` 为非零有理数,
  证明: 对任意有理数 `y`, 存在一系列 `f, g` 的复合将 `x` 映为 `y`.
</p>

<ol class="proof">
  [来自 我是从北京东京到南京的向量加法]
  <li>先证: 对任意既约分数 `p_0/q_0 = p/q`, `p, q != 0`,, 存在一系列 `f, g`
    的复合将它映为
    `+-1`. 事实上, 在 `f, g` 的作用下, `p/q` 分别映为
    <span class="formula">
      `(q+p)/p, (q-p)/p`.
    </span>
    若 `|p| != |q|`, 则两个数都是既约分数,
    且至少有一个数满足分子分母的绝对值之和小于 `|p| + |q|`. 记这个数为
    `p_1/q_1`. 若 `|p_1| != |q_1|`, 又可作同样处理, 得到一系列既约分数
    <span class="formula">
      `p_0/q_0, p_1/q_1, cdots`,
    </span>
    其分子分母绝对值之和单调递减, 这是不可能的. 因此必存在某个 `n` 使得
    `|p_n| = |q_n|`, 即我们将 `p/q` 映为 `+-1`.
  </li>
  <li>由于 `(f@g@f)(x) = (g@f@g)(x) = -x`,
    联系 1. 得到: 任意非零有理数都可以映为 `1`. 以上两式结合得
    <span class="formula">
      `(f@g@f@g@f@g)(x) (g@f@g@f@g@f)(x) = x`,
    </span>
    因此 `f^-1`, `g^-1` 也被找到.
    现在对于任意非零有理数 `x, y`, 存在 `f, g` 复合成的映射 `varphi`, `eta`
    使得 `varphi(x) = 1 = eta(y)`, 即 `(eta^-1 @ varphi) x = y`.
  </li>
  <li>最后显然 `g(1) = 0`, 因此 `0` 也是可以达到的.</li>
</ol>

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</body>
</html>
